Решение квадратных уравнений
Решите уравнение ax² + bx + c = 0: дискриминант, действительные или комплексные корни и вершина параболы.
Уравнение
x² − 5x + 6 = 0
Два действительных корня
x₁ = 2;
- Дискриминант
- Δ = 1
- Вершина параболы
- (2,5; −0,25)
- Ось симметрии
- x = 2,5
Так как a > 0, ветви параболы направлены вверх, а вершина — её самая нижняя точка.
Часто задаваемые вопросы
Корни уравнения ax² + bx + c = 0 (при a ≠ 0) находятся по формуле x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Для x² − 5x + 6 = 0 получаем x = (5 ± √1) / 2, то есть x = 2 или x = 3.
Дискриминант Δ = b² − 4ac определяет, какие у уравнения корни. Если Δ > 0, есть два различных действительных корня; если Δ = 0 — один действительный корень (два совпадающих); если Δ < 0, действительных корней нет, но есть два комплексных.
Когда Δ < 0, в формуле приходится извлекать квадратный корень из отрицательного числа. С помощью мнимой единицы i = √−1 корни записывают как p ± qi, где p = −b / 2a и q = √(−Δ) / 2|a|. У уравнения x² + 2x + 5 = 0 корни равны −1 ± 2i.
Вершина параболы y = ax² + bx + c находится в точке x = −b / 2a; подставьте это значение x в уравнение, чтобы найти координату y. Вертикальная прямая x = −b / 2a, проходящая через вершину, — это ось симметрии параболы.
Тогда слагаемого с x² нет и уравнение становится линейным: из bx + c = 0 получаем x = −c / b. Если и b равно 0, то либо решением является любое x (при c = 0), либо решений нет (при c ≠ 0).