Quadratische Gleichungen lösen
Lösen Sie ax² + bx + c = 0: Diskriminante, reelle oder komplexe Lösungen und der Scheitelpunkt der Parabel.
Gleichung
x² − 5x + 6 = 0
Zwei reelle Lösungen
x₁ = 2;
- Diskriminante
- Δ = 1
- Scheitelpunkt
- (2,5; −0,25)
- Symmetrieachse
- x = 2,5
Da a > 0 ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ist ihr tiefster Punkt.
Häufig gestellte Fragen
Die Lösungen von ax² + bx + c = 0 (mit a ≠ 0) sind x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Diese Formel heißt auch abc-Formel. Für x² − 5x + 6 = 0 ergibt sich x = (5 ± √1) / 2, also x = 2 oder x = 3.
Die Diskriminante Δ = b² − 4ac bestimmt die Art der Lösungen. Ist Δ > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist Δ = 0, gibt es eine doppelte reelle Lösung, und ist Δ < 0, gibt es keine reellen, sondern zwei komplexe Lösungen.
Ist Δ < 0, braucht die Formel die Wurzel aus einer negativen Zahl. Mit i = √−1 schreibt man die Lösungen als p ± qi, wobei p = −b / 2a und q = √(−Δ) / 2|a|. Für x² + 2x + 5 = 0 lauten die Lösungen −1 ± 2i.
Der Scheitelpunkt von y = ax² + bx + c liegt bei x = −b / 2a; setzen Sie dieses x in die Gleichung ein, um den y-Wert zu erhalten. Die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt, x = −b / 2a, ist die Symmetrieachse.
Dann fehlt das x²-Glied und die Gleichung ist linear: Aus bx + c = 0 folgt x = −c / b. Ist auch b gleich 0, ist entweder jedes x eine Lösung (wenn c = 0) oder es gibt keine Lösung (wenn c ≠ 0).